6074. Дан прямоугольный треугольник ABC
площади 1. Точки A'
, B'
и C'
симметричны вершинам соответственно A
, B
и C
относительно прямых, содержащих стороны, противоположные этим вершинам. Найдите площадь треугольника A'B'C'
Ответ. 3.
Решение. Пусть \angle BAC=90^{\circ}
. Из симметрии получаем
CA=C'A,~BA=B'A,
а точки C
, A
, C'
лежат на одной прямой, и точки B
, A
, B'
лежат на одной прямой. Значит, треугольники ABC
и A'B'C'
симметричны относительно точки A
, поэтому сторона BC
равна и параллельна стороне B'C'
.
Пусть L_{1}
— точка пересечения AA'
и BC
, а L_{2}
— точка пересечения прямой AA'
с B'C'
. Тогда AL_{1}
— высота треугольника ABC
. Точки L_{1}
и L_{2}
симметричны относительно A
, поэтому AL_{2}=AL_{1}=A'L
, а так как A'L_{2}\perp B'C'
, то A'L_{2}
— высота треугольника A'B'C'
. Следовательно,
S_{\triangle A'B'C'}=\frac{1}{2}B'C'\cdot A'L_{2}=\frac{1}{2}BC\cdot3AL_{1}=3\cdot\frac{1}{2}BC\cdot A'L_{1}=3S_{\triangle ABC}=3.
Источник: Канадские математические олимпиады. — 1989
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1989, № 7, задача 2, с. 198