6075. Пусть O
— центр одной из вневписанных окружностей треугольника ABC
. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника AOB
, лежит на окружности, описанной около треугольника ABC
.
Решение. Пусть O
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны BC
и продолжений сторон AB
и AC
. Обозначим углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно.
Луч AO
— биссектриса угла BAC
, а луч BO
— биссектриса угла, смежного с углом ABC
, поэтому
\angle OAB=\frac{\alpha}{2},~\angle OBA=\beta+\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta)=90^{\circ}+\frac{\beta}{2},~\angle AOB=180^{\circ}-\angle OAB-\angle OBA=
=180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\left(90^{\circ}+\frac{\beta}{2}\right)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=\frac{\gamma}{2}.
Пусть P
— центр окружности, описанной около треугольника AOB
. Тогда APB
— центральный угол этой окружности, соответствующий вписанному углу AOB
, поэтому
\angle APB=2\angle AOB=\gamma=\angle ACB.
Следовательно, точка P
лежит на окружности, проходящей через точки A
, B
и C
, т. е. на описанной окружности треугольника ABC
.