6078. В треугольник площади S
вписан второй треугольник площади P
и описан третий треугольник площади Q
, причём стороны третьего треугольника соответственно параллельны сторонам второго. Докажите, что S=\sqrt{PQ}
.
Решение. Пусть площадь треугольника ABC
равна S
, площадь вписанного в него треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
равна P
, причём точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на сторонах BC
, AC
и AB
соответственно, а площадь описанного около ABC
треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
равна Q
, причём B_{2}C_{2}\parallel B_{1}C_{1}
, A_{2}C_{2}\parallel A_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}\parallel A_{1}B_{1}
.
Треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
подобен треугольнику A_{2}B_{2}C_{2}
с коэффициентом k=\frac{A_{1}B_{1}}{A_{2}B_{2}}\lt1
. Пусть O
— точка пересечения прямых A_{1}A_{2}
и B_{1}B_{2}
. При гомотетии с центром O
и коэффициентом k
отрезок A_{2}B_{2}
переходит в отрезок A_{1}B_{1}
, луч B_{2}C_{2}
— в сонаправленный с ним луч B_{1}C_{1}
, а луч A_{2}C_{2}
— в сонаправленный с ним луч A_{1}C_{1}
. Следовательно, точка C_{2}
пересечения лучей B_{2}C_{2}
и A_{2}C_{2}
переходит в точку пересечения лучей B_{1}C_{1}
и A_{1}C_{1}
, т. е. в точку C_{1}
. Точки C_{1}
и C_{2}
гомотетичны с центром O
, значит, прямая C_{1}C_{2}
также проходит через точку O
.
Таким образом, прямые A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
и C_{1}C_{2}
пересекаются в точке O
— центре гомотетии треугольников A_{2}B_{2}C_{2}
и A_{1}B_{1}C_{1}
.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому k=\sqrt{\frac{P}{Q}}
.
Треугольник B_{1}OC_{1}
гомотетичен треугольнику B_{2}OC_{2}
с тем же центром O
и с тем же коэффициентом k
. Отношение площадей треугольников B_{1}AC_{1}
и B_{1}OC_{1}
равно отношению высот этих треугольников, опущенных на их общую сторону B_{1}C_{1}
, т. е. \frac{S_{\triangle B_{1}AC_{1}}}{S_{\triangle B_{1}OC_{1}}}=\frac{1-k}{k}
, поэтому S_{\triangle B_{1}AC_{1}}=\frac{1-k}{k}S_{\triangle B_{1}OC_{1}}
. Аналогично S_{\triangle A_{1}CB_{1}}=\frac{1-k}{k}S_{\triangle A_{1}OB_{1}}
и S_{\triangle A_{1}BC_{1}}=\frac{1-k}{k}S_{\triangle A_{1}OC_{1}}
, значит,
S=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle B_{1}AC_{1}}+S_{\triangle A_{1}CB_{1}}+S_{\triangle A_{1}BC_{1}}+S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=
=\frac{1-k}{k}S_{\triangle B_{1}OC_{1}}+\frac{1-k}{k}S_{\triangle A_{1}OB_{1}}+\frac{1-k}{k}S_{\triangle A_{1}OC_{1}}+S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=
=\frac{1-k}{k}\left(S_{\triangle B_{1}OC_{1}}+S_{\triangle A_{1}OB_{1}}+S_{\triangle A_{1}OC_{1}}\right)+S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{1-k}{k}S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}+S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=
=\frac{1-k}{k}P+P=\left(\frac{1-k}{k}+1\right)P=\frac{1}{k}P=\sqrt{\frac{Q}{P}}\cdot P=\sqrt{PQ}.