6079. Известно, что на сторонах CD
и AB
четырёхугольника ABCD
есть точки соответственно K
и M
такие, что каждая из прямых AK
и CM
делит четырёхугольник на две равновеликие части. Докажите, что прямая KM
делит отрезок BD
пополам.
Указание. Докажите, что KM\parallel AC
.
Решение. Пусть площадь четырёхугольника ABCD
равна s
. Тогда S_{ABCK}=S_{ABCM}=\frac{s}{2}
, поэтому
S_{\triangle AKC}=S_{ABCK}-S_{\triangle ABC}=S_{ABCM}-S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AMC}.
Треугольники AKC
и AMC
с общим основанием AC
равновелики, значит, их высоты, опущенные на AC
, равны. Следовательно, KM\parallel AC
.
Пусть диагональ BD
пересекает отрезок KM
в точке P
. У треугольников APC
и AMC
общее основание AC
и равные высоты, опущенные на AC
, значит, эти треугольники равновелики. Поэтому S_{ABCP}=S_{ABCM}=\frac{s}{2}
.
Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, а так как AC
— общая диагональ четырёхугольников ABCP
и ABCD
, то диагональ BP
четырёхугольника ABCP
вдвое меньше диагонали BD
четырёхугольника ABCD
. Следовательно, BP=\frac{1}{2}BD
.