6080. Пусть ABCD
— четырёхугольник, в который можно вписать окружность и около которого можно описать окружность. Проведём через центр вписанной в ABCD
окружности прямую, параллельную одной из его сторон. Докажите, что отрезок этой прямой, заключённый внутри четырёхугольника ABCD
, равен четверти периметра этого четырёхугольника.
Решение. Лемма. Если биссектрисы углов при вершинах C
и D
вписанного четырёхугольника KMCD
пересекаются на стороне KM
, то KD+CM=KM
.
Доказательство. Пусть биссектрисы углов D
и C
пересекаются на стороне KM
в точке Y
, \angle D=2\alpha
, \angle C=2\beta
и \alpha\gt\beta
. На отрезке KM
выберем такую точку X
, для которой \angle KDX=\beta
. Тогда луч DX
проходит между сторонами угла KDY
, точка X
лежит между K
и Y
,
\angle DXK=180^{\circ}-\angle KDX-\angle DKX=180^{\circ}-\beta-(180^{\circ}-2\beta)=\beta.
Поэтому треугольник DKX
— равнобедренный, KX=KD
, а \angle DXM=180^{\circ}-\beta=180^{\circ}-\angle DCY
. Значит, точки D
, X
, Y
и C
лежат на одной окружности. Следовательно,
\angle XCY=\angle XDY=\alpha-\beta,~\angle XCM=\angle XCY+\angle YCM=(\alpha-\beta)+\beta=\alpha.
Тогда
\angle CXM=180^{\circ}-\angle XCM-\angle CMX=180^{\circ}-\alpha-(180^{\circ}-2\alpha)=\alpha,
поэтому треугольник CMX
— также равнобедренный, CM=MX
. Следовательно, KD+CM=KX+MX=KM
. Лемма доказана.
Перейдём к нашей задаче. Пусть Y
— центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD
. Через точку Y
проведём прямую, параллельную стороне AB
. Пусть эта прямая пересекает стороны AD
и BC
в точках K
и M
соответственно. Поскольку Y
— точка пересечения биссектрис углов четырёхугольника ABCD
и KM\parallel AB
, то \angle BYM=\angle ABY=\angle MBY
. Поэтому треугольник MBY
равнобедренный, BM=YM
. Аналогично AK=YK
. Следовательно, KM=YK+YM=AK+BM
.
Четырёхугольник ABCD
— вписанный, поэтому \angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}
, а так как KM\parallel AB
, то \angle KMC+\angle CDK=\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}
, значит, четырёхугольник KMCD
— также вписанный, причём биссектрисы CY
и DY
его углов при вершинах C
и D
пересекаются на стороне KM
. Тогда по лемме KM=KD+CM
, а так как по ранее доказанному KM=AK+BM
, то
2KM=(KD+CM)+(AK+BM)=(AK+KD)+(BM+CM)=AD+BC.
Четырёхугольник ABCD
— описанный, поэтому суммы его противоположных сторон равны между собой. Следовательно,
KM=\frac{1}{2}(AD+BC)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(AB+BC+CD+AD)=\frac{1}{4}(AB+BC+CD+AD).
Что и требовалось доказать.