6086. В ромб ABCD
вписана окружность. Одна касательная к окружности пересекает прямые AB
и BC
в точках K
и M
, а другая касательная пересекает прямые AD
и CD
в точках P
и T
. Докажите, что KP\parallel MT
.
Решение. Пусть точки K
, M
, T
и P
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
и AD
ромба ABCD
, O
— точка пересечения диагоналей ромба. Поскольку O
— центр окружности, вписанной в ромб, лучи KO
и MO
— биссектрисы углов AKM
и CMK
.
Обозначим
\angle OAK=\angle OCM=\angle OAP=\angle OCT=\alpha,~\angle OKA=\angle OKM=\beta,~\angle OMC=\angle OMK=\gamma.
Сумма углов четырёхугольника AKMC
равна 360^{\circ}
, поэтому 2\alpha+2\beta+2\gamma=360^{\circ}
. Значит, \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}
. Тогда
\angle AOK=180^{\circ}-\alpha-\beta=\gamma,~\angle COM=180^{\circ}-\alpha-\gamma=\beta.
Следовательно, треугольники AOK
и CMO
подобны по двум углам. Соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны, поэтому \frac{AK}{OC}=\frac{AO}{CM}
, откуда AK\cdot CM=AO\cdot OC=AO^{2}
. Аналогично AP\cdot CT=AO^{2}
, значит, AK\cdot CM=AP\cdot CT
, или \frac{AK}{AP}=\frac{CT}{CM}
, а так как \angle KAP=\angle TCM
, то треугольники AKP
и CTM
подобны. При этом \angle AKP=\angle MTC
, а так как AB\parallel CD
, то KP\parallel MT
. Что и требовалось доказать.