6098. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника, E
— основание какой-либо высоты, F
— одна из точек пересечения прямой ME
с описанной окружностью (M
между E
и F
). Докажите, что FM=2EM
.
Решение. Медианы треугольника делятся пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины, поэтому при гомотетии с центром M
и коэффициентом -\frac{1}{2}
вершины данного треугольника переходят в середины противоположных им сторон, а описанная окружность данного треугольника переходит в окружность, проходящую через середины сторон данного треугольника, т. е. в его окружность девяти точек. Как известно, основание высоты (точка E
) лежит на этой окружности, а так как прямая EF
проходит через центр M
гомотетии, то при этой гомотетии точка F
переходит в точку E
. Значит, ME=\frac{1}{2}MF
. Следовательно, FM=2EM
.