6103. В треугольнике ABC
, в котором \angle B=60^{\circ}
, биссектриса угла A
пересекает сторону в точке M
. На стороне AC
взята точка K
так, что \angle AMK=30^{\circ}
. Найдите угол OKC
, где O
— центр окружности, описанной около треугольника AMC
.
Ответ. 30^{\circ}
или 150^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle BAM=\angle CAM=\alpha
. Тогда По теореме о внешнем угле треугольника
\angle CKM=\angle AMK+\angle KAM=30^{\circ}+\alpha,
\angle AMC=\angle ABM+\angle BAM=60^{\circ}+\alpha,
поэтому
\angle CMK=\angle AMC-\angle AMK=60^{\circ}+\alpha-30^{\circ}=30^{\circ}+\alpha=\angle CKM.
Следовательно, треугольник CMK
равнобедренный, CK=CM
.
Пусть прямая MK
вторично пересекает описанную окружность треугольника AMC
в точке N
. Треугольник NAK
подобен равнобедренному треугольнику CMK
, поэтому NA=NK
. Центральный угол AON
вдвое больше вписанного угла AMN
, значит, \angle AON=2\angle AMN=60^{\circ}
. Поэтому равнобедренный треугольник AON
— равносторонний, следовательно, NK=AN=ON=R
, где R
радиус окружности, и точки A
, K
и O
лежат на окружности с центром N
и радиусом R
.
Если точка K
лежит на меньшей дуге AO
этой окружности (рис. 1), то \angle AKO=150^{\circ}
. Тогда
\angle OKC=180^{\circ}-\angle AKO=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}.
Если точка K
лежит на большей дуге AO
этой окружности (рис. 2), то \angle AKO=30^{\circ}
. Тогда
\angle OKC=180^{\circ}-\angle AKO=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 259, с. 29