6104. Теорема Даниэльсона. Выпуклый четырёхугольник разделён диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения медиан двух противоположных треугольников, перпендикулярна прямой, проходящей через точки пересечения высот двух других треугольников.
Решение. Пусть ABCD
— выпуклый четырёхугольник, O
— точка пересечения его диагоналей, K
, L
, M
и N
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
, E
и F
— точки пересечения медиан треугольников AOB
и COD
соответственно, X
и Y
— точки пересечения высот треугольников соответственно BOC
и AOD
.
Поскольку \frac{OE}{OK}=\frac{OF}{OM}=\frac{1}{3}
, прямая EF
параллельна диагонали KM
параллелограмма KLMN
. Поэтому достаточно доказать, что XY\perp KM
.
Пусть прямые CX
и DY
пересекаются в точке Z
, а прямые BX
и AY
— в точке T
. Противоположные стороны четырёхугольника XZYT
попарно параллельны, значит, XZYT
— параллелограмм. Стороны этого параллелограмма соответственно перпендикулярны сторонам параллелограмма KLMN
.
Предположим, что угол AOD
острый. Обозначим \angle AOD=\alpha
. Тогда острые углы XZY
и KLM
параллелограммов KLMN
и XZYT
также равны \alpha
. Пусть P
и Q
— точки пересечения прямой BD
с прямыми XZ
и TY
соответственно. Тогда PQ
— высота параллелограмма XZYT
, поэтому YZ=\frac{PQ}{\sin\alpha}
. В то же время, PQ
— проекция диагонали AC
данного четырёхугольника на прямую BD
, поэтому PQ=AC\cos\alpha
. Следовательно,
YZ=\frac{PQ}{\sin\alpha}=\frac{AC\cos\alpha}{\sin\alpha}=AC\ctg\alpha=2KL\ctg\alpha.
Аналогично, XZ=2LM\ctg\alpha
. Таким образом, стороны YZ
и XZ
треугольника XZY
соответственно пропорциональны сторонам LM
и KL
треугольника MLK
и \angle XZY=\angle MLK
. Значит, эти треугольники подобны.
Поскольку LM\perp XZ
и KL\perp YZ
, при повороте на угол 90^{\circ}
прямая LM
переходит в прямую, параллельную XZ
, а прямая KL
— в прямую, параллельную YZ
. Значит, прямая KM
переходит в прямую, параллельную XY
. Следовательно, XY\perp KM
. Что и требовалось доказать.