6110. Докажите, что при инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, переходит сама в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.
Решение. Рассмотрим инверсию относительно окружности S
радиуса R
с центром O
. Пусть M
— произвольная точка прямой a
, проходящей через центр O
.
Если точка M
совпадает с O
, то образ точки M
— бесконечно удалённая точка O_{\infty}
. Если точка M
отлична от O
, то её образ M'
— точка, лежащая на луче OM
. Следовательно, образ любой точки прямой a
также лежит на этой прямой.
Обратно, каждая точка прямой (включая бесконечно удалённую) a
является образом некоторой точки этой прямой.
Пусть теперь a
— прямая, не проходящая через центр инверсии. Центр O
инверсии — образ бесконечно удалённой точки. Пусть M_{0}
— проекция точки O
на прямую a
, а M_{0}'
— образ точки M_{0}
. Тогда OM_{0}'=\frac{R^{2}}{OM_{0}}
. Если M
— произвольная точка прямой a
, отличная от M_{0}
, а M'
— её образ при рассматриваемой инверсии, то OM'=\frac{R^{2}}{OM}
, значит, \frac{OM_{0}'}{OM'}=\frac{OM}{OM_{0}}
, поэтому треугольник OM'M_{0}'
подобен прямоугольному треугольнику OM_{0}M
(угол при вершине O
— общий). Следовательно, \angle OM'M_{0}'=90^{\circ}
.
Из точки M'
отрезок OM_{0}'
виден под прямым углом, значит, эта точка лежит на окружности с диаметром OM_{0}'
. Доказано, что при инверсии образы всех точек прямой a
, не проходящей через центр инверсии, лежат на окружности, проходящей через центр инверсии. Осталось доказать, что каждая точка этой окружности, является образом некоторой точки прямой a
.
Действительно, пусть N
— произвольная отличная от O
и M_{0}'
точка окружности с диаметром OM_{0}'
. Тогда луч ON
пересекает прямую a
в некоторой точке K
. Прямоугольные треугольники ONM_{0}'
и OM_{0}K
подобны по двум углам, поэтому \frac{ON}{OM_{0}}=\frac{OM_{0}'}{OK}
, откуда ON=\frac{OM_{0}\cdot OM_{0}'}{OK}=\frac{R^{2}}{OK}
, а это означает, что N
— образ точки K
при рассматриваемой инверсии. Что и требовалось доказать.
