6110. Докажите, что при инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, переходит сама в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.
Решение. Рассмотрим инверсию относительно окружности S
радиуса R
с центром O
. Пусть M
— произвольная точка прямой a
, проходящей через центр O
.
Если точка M
совпадает с O
, то образ точки M
— бесконечно удалённая точка O_{\infty}
. Если точка M
отлична от O
, то её образ M'
— точка, лежащая на луче OM
. Следовательно, образ любой точки прямой a
также лежит на этой прямой.
Обратно, каждая точка прямой (включая бесконечно удалённую) a
является образом некоторой точки этой прямой.
Пусть теперь a
— прямая, не проходящая через центр инверсии. Центр O
инверсии — образ бесконечно удалённой точки. Пусть M_{0}
— проекция точки O
на прямую a
, а M_{0}'
— образ точки M_{0}
. Тогда OM_{0}'=\frac{R^{2}}{OM_{0}}
. Если M
— произвольная точка прямой a
, отличная от M_{0}
, а M'
— её образ при рассматриваемой инверсии, то OM'=\frac{R^{2}}{OM}
, значит, \frac{OM_{0}'}{OM'}=\frac{OM}{OM_{0}}
, поэтому треугольник OM'M_{0}'
подобен прямоугольному треугольнику OM_{0}M
(угол при вершине O
— общий). Следовательно, \angle OM'M_{0}'=90^{\circ}
.
Из точки M'
отрезок OM_{0}'
виден под прямым углом, значит, эта точка лежит на окружности с диаметром OM_{0}'
. Доказано, что при инверсии образы всех точек прямой a
, не проходящей через центр инверсии, лежат на окружности, проходящей через центр инверсии. Осталось доказать, что каждая точка этой окружности, является образом некоторой точки прямой a
.
Действительно, пусть N
— произвольная отличная от O
и M_{0}'
точка окружности с диаметром OM_{0}'
. Тогда луч ON
пересекает прямую a
в некоторой точке K
. Прямоугольные треугольники ONM_{0}'
и OM_{0}K
подобны по двум углам, поэтому \frac{ON}{OM_{0}}=\frac{OM_{0}'}{OK}
, откуда ON=\frac{OM_{0}\cdot OM_{0}'}{OK}=\frac{R^{2}}{OK}
, а это означает, что N
— образ точки K
при рассматриваемой инверсии. Что и требовалось доказать.
Источник: Яглом И. М. Геометрические преобразования. — Т. 2: Линейные и круговые преобразования. — М.: ГИТТЛ, 1956. — с. 177
Источник: Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1976. — с. 172
Источник: Костовский А. Н. Геометрические построения одним циркулем на плоскости и одним лишь сферографом в пространстве. — (Популярные лекции по математике. Вып. 29). — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1989. — с. 29
Источник: Бакельман И. Я. Инверсия. — (Популярные лекции по математике. Вып. 44). — М.: Наука, 1966. — с. 17
Источник: Жижилкин И. Д. Инверсия. — (Библиотека «Математическое просвещение». Вып. 35). — М.: МЦНМО, 2009. — с. 9
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — с. 255-256
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 28.2, с. 518