6112. Докажите, что при инверсии окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.
Решение. Рассмотрим инверсию относительно окружности S
радиуса R
с центром O
. Пусть Q
— центр окружности \omega
, не проходящей через центр O
окружности инверсии, прямая OQ
пересекает окружность \omega
в точках A
и B
, точки A'
и B'
— образы точек A
и B
при рассматриваемой инверсии, M
— произвольная точка окружности \omega
, отличная от A
и B
, M'
— образ точки M
. Тогда
\angle AMB=90^{\circ},~OA'=\frac{R^{2}}{OA},~OB'=\frac{R^{2}}{OB},~OM'=\frac{R^{2}}{OM},
откуда \frac{OA'}{OM'}=\frac{OM}{OA}
и \frac{OB'}{OM'}=\frac{OM}{OB}
, значит, треугольник OM'A'
подобен треугольнику OAM
, а треугольник OM'B'
— треугольнику OBM
, поэтому \angle OM'A'=\angle OAM
и \angle OM'B'=\angle OBM
. Тогда
\angle A'M'B'=\angle OM'A'-\angle OM'B'=\angle OAM-\angle OBM=\angle AMB=90^{\circ}.
Следовательно, точка M'
лежит на окружности с диаметром A'B'
. Доказано, что при инверсии образы всех точек окружности \omega
, не проходящей через центр инверсии, лежат на окружности с диаметром A'B'
. Аналогично докажем, что каждая точка окружности с диаметром A'B'
, является образом некоторой точки окружности \omega
.
