6112. Докажите, что при инверсии окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.
Решение. Рассмотрим инверсию относительно окружности S
радиуса R
с центром O
. Пусть Q
— центр окружности \omega
, не проходящей через центр O
окружности инверсии, прямая OQ
пересекает окружность \omega
в точках A
и B
, точки A'
и B'
— образы точек A
и B
при рассматриваемой инверсии, M
— произвольная точка окружности \omega
, отличная от A
и B
, M'
— образ точки M
. Тогда
\angle AMB=90^{\circ},~OA'=\frac{R^{2}}{OA},~OB'=\frac{R^{2}}{OB},~OM'=\frac{R^{2}}{OM},
откуда \frac{OA'}{OM'}=\frac{OM}{OA}
и \frac{OB'}{OM'}=\frac{OM}{OB}
, значит, треугольник OM'A'
подобен треугольнику OAM
, а треугольник OM'B'
— треугольнику OBM
, поэтому \angle OM'A'=\angle OAM
и \angle OM'B'=\angle OBM
. Тогда
\angle A'M'B'=\angle OM'A'-\angle OM'B'=\angle OAM-\angle OBM=\angle AMB=90^{\circ}.
Следовательно, точка M'
лежит на окружности с диаметром A'B'
. Доказано, что при инверсии образы всех точек окружности \omega
, не проходящей через центр инверсии, лежат на окружности с диаметром A'B'
. Аналогично докажем, что каждая точка окружности с диаметром A'B'
, является образом некоторой точки окружности \omega
.
Источник: Яглом И. М. Геометрические преобразования. — Т. 2: Линейные и круговые преобразования. — М.: ГИТТЛ, 1956. — с. 178
Источник: Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1976. — с. 172
Источник: Костовский А. Н. Геометрические построения одним циркулем на плоскости и одним лишь сферографом в пространстве. — (Популярные лекции по математике. Вып. 29). — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1989. — с. 29
Источник: Бакельман И. Я. Инверсия. — (Популярные лекции по математике. Вып. 44). — М.: Наука, 1966. — с. 19
Источник: Жижилкин И. Д. Инверсия. — (Библиотека «Математическое просвещение». Вып. 35). — М.: МЦНМО, 2009. — с. 11
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — с. 256