6116. Докажите, что две непересекающиеся окружности S_{1}
и S_{2}
(или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры непересекающихся окружностей S_{1}
и S_{2}
соответственно. Построим на прямой O_{1}O_{2}
точку C
, для которой касательные, проведённые из неё к окружностям S_{1}
и S_{2}
, равны. Эту точку можно построить, проведя радикальную ось этих окружностей.
Пусть l
— длина этих касательных, а O
и Q
— точки пересечения окружности с центром C
радиуса l
с прямой O_{1}O_{2}
. Ясно, что эта окружность перпендикулярна окружностям S_{1}
и S_{2}
.
Рассмотрим инверсию относительно произвольной окружности с центром O
. При этой инверсии прямая O_{1}O_{2}
, проходящая через центр инверсии, переходит в себя, а окружность с диаметром OQ
, проходящая через центр O
инверсии, — в прямую a
, не проходящую через центр инверсии. Прямые O_{1}O_{2}
и a
имеют единственную общую точку Q'
— образ точки Q
при рассматриваемой инверсии.
Поскольку при инверсии сохраняются углы между окружностями, прямая a
перпендикулярна образам S_{1}'
и S_{2}'
окружностей S_{1}
и S_{2}
, поэтому она проходит через центры окружностей S_{1}'
и S_{2}'
, лежащие на прямой O_{1}O_{2}
, а так как прямые O_{1}O_{2}
и a
имеют ровно одну общую точку Q'
, то центры окружностей S_{1}'
и S_{2}'
совпадают с этой точкой. Что и требовалось доказать.