6118. С помощью циркуля и линейки постройте образ прямой при инверсии относительно данной окружности.
Решение. Пусть даны прямая l
и окружность S
с центром O
. Требуется построить образ прямой l
при инверсии относительно окружности S
.
Известно, что прямая, проходящая через центр инверсии, переходит сама в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии, — в окружность, проходящую через центр инверсии.
В первом из этих случаев образ прямой l
— это сама прямая l
.
Пусть прямая l
не имеет с окружностью S
общих точек. Опустим перпендикуляр OP
из центра инверсии на прямую l
и проведём из точки P
касательные к окружности S
. Если A
и B
— точки касания, а P'
— точка пересечения прямых AB
и OP
, то искомый образ прямой l
— окружность с диаметром OP'
.
Если прямая l
касается окружности S
в точке P
, то образ прямой l
при рассматриваемой инверсии — это окружность с диаметром OP
.
Если прямая l
пересекает окружность S
в различных точках A
и B
, но не проходит через её центр O
, то строим точку C
пересечения касательных к окружности S
в точках A
и B
. Искомая окружность — это окружность с диаметром OC
.