6119. С помощью циркуля и линейки постройте образ данной окружности при инверсии относительно другой данной окружности.
Решение. Пусть даны окружность l
и окружность S
с центром O
. Требуется построить образ окружности l
при инверсии относительно окружности S
.
Известно, что окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии, а окружность, не проходящая через центр инверсии, — в окружность.
Пусть окружность l
расположена внутри окружности S
, проходит через точку O
и пересекает линию центров окружностей в точке C
, отличной от O
. Через точку C
проведём прямую, перпендикулярную линии центров. Через точку пересечения A
этой прямой с окружностью S
проведём касательную к окружности S
. Пусть P
— точка пересечения этой касательной с линией центров окружностей l
и S
. Тогда прямая, проходящая через точку P
перпендикулярно линии центров, — искомый образ окружности l
при рассматриваемой инверсии.
Если окружность l
проходит через точку O
и пересекает окружность S
в различных точках A
и B
, то при инверсии относительно окружности S
эти точки остаются на месте, значит, искомый образ окружности l
, — прямая AB
.
Если окружность l
проходит через точку O
и касается окружности S
в точке A
, то при инверсии относительно окружности S
окружность l
переходит в общую касательную к окружностям l
и S
, проходящую через точку A
.
Пусть теперь окружность l
не проходит через точку O
. Если линия центров окружностей l
и S
пересекается с окружностью l
в различных точках A
и B
, то AB
— диаметр окружности l
. Тогда искомый образ окружности l
при рассматриваемой инверсии — это окружность с диаметром A'B'
, где A'
и B'
— образы точек A
и B
при этой инверсии.