6120. С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся трёх данных попарно пересекающихся окружностей, проходящих через одну точку.
Решение. Пусть окружности S_{1}
, S_{2}
и S_{2}
проходят через точку O
и попарно пересекаются в точках A
, B
и C
, отличных от O
. Предположим, что построена окружность S
, касающаяся каждой из этих окружностей.
Рассмотрим инверсию относительно произвольной окружности с центром O
. При этой инверсии окружности S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
, проходящие через центр O
инверсии, перейдут в попарно пересекающиеся прямые S_{1}'
, S_{2}'
и S_{3}'
, точки A
, B
и C
— в точки A'
, B'
и C'
попарного пересечения этих прямых, а окружность S
, не проходящая через центр инверсии, — в окружность S'
, касающуюся прямых A'B'
, A'C'
и B'C'
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим образы A'
, B'
и C'
точек A
, B
и C
при инверсии относительно произвольной окружности с центром O
, затем строим окружности, касающиеся прямых A'B'
, A'C'
и B'C'
, т. е. вписанную и три вневписанные окружности треугольника A'B'C'
.
Если ещё раз применить рассматриваемую инверсию, то каждая из построенных окружностей перейдёт в окружность, касающуюся данных окружностей S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
.