6121. Точки X'
и Y'
— образы точек X
и Y
при инверсии относительно окружности с центром O
радиуса R
, причём точки X
и Y
отличны от O
. Докажите, что X'Y'=XY\cdot\frac{R^{2}}{OX\cdot OY}
.
Решение. По определению инверсии точка X'
лежит на луче OX
, а точка Y'
— на луче OY
. При этом OX'=\frac{R^{2}}{OX}
и OY'=\frac{R^{2}}{OY}
, поэтому \frac{OX'}{OY'}=\frac{OY}{OX}
. Значит, треугольник X'OY'
подобен треугольнику YOX
. Поэтому
\frac{X'Y'}{XY}=\frac{OX'}{OY}=\frac{\frac{R^{2}}{OX}}{OY}=\frac{R^{2}}{OX\cdot OY}.
Следовательно, X'Y'=XY\cdot\frac{R^{2}}{OX\cdot OY}
.