6123. С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся двух данных окружностей и проходящую через данную точку, лежащую вне этих окружностей.
Решение. Предположим, искомая окружность S
построена, т. е. окружность S
касается данных окружностей S_{1}
и S_{2}
и проходит через данную точку O
, лежащую вне окружностей S_{1}
и S_{2}
.
При инверсии относительно окружности произвольного радиуса с центром O
окружность S
, проходящая через центр инверсии, перейдёт в прямую S'
, касающуюся окружностей S_{1}'
и S_{2}'
— образов окружностей S_{1}
и S_{2}
, не проходящих через центр инверсии. Отсюда вытекает следующий способ построения.
Строим окружности S_{1}'
и S_{2}'
— образы окружностей S_{1}
и S_{2}
при инверсии относительно произвольной окружности с центром O
. Затем проводим общие касательные к построенным окружностям и ещё раз применяем ту же инверсию. Тогда каждая из построенных общих касательных переходит в окружность, проходящую через центр инверсии O
и касающуюся окружностей S_{1}
и S_{2}
.
Задача имеет четыре решения (по числу общих касательных, которые можно провести к двум окружностям, если одна из них расположена вне другой).