6124. В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.
Ответ. Дуга окружности.
Решение. Пусть AB
— хорда окружности S
, а S_{1}
и S_{2}
— касающиеся окружности, вписанные в один из сегментов, на которые окружность S
делится хордой AB
, M
— точка касания окружностей S_{1}
и S_{2}
.
При инверсии относительно произвольной окружности с центром A
точка B
перейдёт в некоторую точку B'
, окружность S
, проходящая через центр инверсии, — в прямую S'
, проходящую через точку B'
, прямая AB
, проходящая через центр инверсии, — в себя, касающиеся окружности S_{1}
и S_{2}
, не проходящие через центр инверсии, — в касающиеся окружности S_{1}'
и S_{2}'
, вписанные в угол с вершиной B'
, образованный пересечением прямых AB
и S'
.
Точка касания M'
окружностей S_{1}'
и S_{2}'
(образ точки M
) лежит на биссектрисе этого угла. Если ещё раз применить ту же инверсию, то эта биссектриса перейдёт в дугу некоторой окружности, делящей пополам угол с вершиной B
между прямой AB
и окружностью S
.