6130. Точки A'
и B'
— образы точек A
и B
при инверсии относительно некоторой окружности. Докажите, что точки A
, B
, A'
и B'
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть при инверсии относительно окружности с центром O
точка A
переходит в точку A'
, а точка B
— в B'
, причём точки A
и B
не лежат на окружности инверсии. Тогда по определению инверсии точка A'
лежит на луче OA
, а точка B'
— на луче OB
. При этом, если радиус окружности инверсии равен R
, то OA'=\frac{R^{2}}{OA}
и OB'=\frac{R^{2}}{OB}
, поэтому \frac{OA'}{OB'}=\frac{OB}{OA}
. Значит, треугольник B'OA'
подобен треугольнику AOB
, поэтому
\angle OA'B'=\angle OBA=180^{\circ}-\angle ABB'.
Следовательно, четырёхугольник AA'B'B
— вписанный, т. е. точки A
, B
, A'
и B'
лежат на одной окружности.