6136. Стороны AB
и AC
треугольника равны соответственно a
и b
. На медиане, проведённой к стороне BC
взята точка M
. Сумма расстояний от этой точки до прямых AB
и AC
равна c
. Найдите эти расстояния.
Ответ. \frac{ac}{a+b}
, \frac{bc}{a+b}
.
Указание. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
Решение. Обозначим расстояния от точки M
до прямых AB
и AC
через x
и y
соответственно. Если AK
— медиана треугольника ABC
, то треугольники AKB
и AKC
равновелики, а также равновелики треугольники MKB
и MKC
, значит, равновелики треугольники AMB
и AMC
, т. е. \frac{1}{2}ax=\frac{1}{2}by
. Из системы \syst{x+y=c\\ax=by\\}
находим, что x=\frac{bc}{a+b}
, y=\frac{ac}{a+b}
.