6137. Середина каждой стороны параллелограмма соединена с концами противоположной стороны. Найдите площадь восьмиугольника, образованного пересечениями проведённых отрезков, если площадь параллелограмма равна 1.
Ответ. \frac{1}{6}
.
Решение. Пусть K
, L
, M
и N
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
параллелограмма ABCD
площади 1, O
— центр параллелограмма. Тогда площадь параллелограмма KBLO
равна \frac{1}{4}
, а площадь треугольника KLO
равна \frac{1}{8}
.
Пусть прямые AL
и BN
пересекаются в точке P
, прямые BM
и CK
— в точке Q
, а прямые AL
и CK
— в точке H
. Тогда P
, H
и Q
— три последовательные вершины восьмиугольника, о котором говорится в условии задачи. При этом P
— середина стороны KO
треугольника KLO
, Q
— середина стороны LO
, а H
— точка пересечения медиан LP
и KQ
этого треугольника, поэтому площадь четырёхугольника OPHQ
равна трети площади треугольника KLO
, т. е. \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{24}
. Осталось заметить, что площадь восьмиугольника в четыре раза больше площади четырёхугольника OPHQ
, а значит, равна 4\cdot\frac{1}{24}=\frac{1}{6}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1950, билет 11, № 1
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 50-11-1, с. 25
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 336, с. 39