6138. Вершины треугольника лежат внутри прямоугольника или на его сторонах. Докажите, что площадь треугольника не превосходит половины площади прямоугольника.
Решение. Предположим, что вершины M
и L
треугольника KLM
лежат на одной из сторон, например CD
, прямоугольника ABCD
(рис. 1). Тогда, ML\leqslant CD
и KH\leqslant AD
, где KH
— высота треугольника KLM
. Следовательно,
S_{\triangle KLM}=\frac{1}{2}ML\cdot KH\leqslant\frac{1}{2}CD\cdot AD=S_{ABCD}.
Пусть вершина K
треугольника KLM
совпадает с одной из вершин прямоугольника ABCD
, например с A
(рис. 2), а вершины L
и M
лежат на сторонах прямоугольника, противоположных вершине A
, например L
— на BC
, а M
— на CD
. Проведём через точку L
прямую, параллельную AB
. Пусть эта прямая пересекает отрезок AD
в точке P
, а отрезок AM
— в точке Q
. Тогда по ранее доказанному S_{\triangle ALQ}\leqslant\frac{1}{2}S_{ABLP}
и S_{\triangle MLQ}\leqslant\frac{1}{2}S_{CLPD}
. Следовательно,
S_{\triangle ALM}=S_{\triangle ALQ}+S_{\triangle MLQ}\leqslant\frac{1}{2}S_{ABLP}+\frac{1}{2}S_{CLPD}=\frac{1}{2}(S_{ABLP}+S_{CLPD})=\frac{1}{2}S_{ABCD}.
Наконец, если хотя бы одна из вершин треугольника KLM
лежит внутри прямоугольника ABCD
(рис. 3), то проведя через вершины, лежащие внутри прямоугольника, прямые, параллельные соответствующим сторонам прямоугольника, получим новый прямоугольник, площадь которого меньше площади исходного, а вершины треугольника KLM
лежат на сторонах нового прямоугольника. Применяя доказанные ранее утверждения, и в этом случае получим требуемое неравенство.
