6140. Могут ли три точки с целыми координатами быть вершинами равностороннего треугольника?
Ответ. Нет.
Решение. Предположим, что такой равносторонний треугольник ABC
существует. Пусть его стороны не параллельны осям координат. Тогда проведя через его соответствующие вершины прямые, параллельные осям координат, опишем около него прямоугольник. Длины сторон этого прямоугольника, а значит, и площадь, — целые числа. Площадь треугольника ABC
равна разности площади прямоугольника и трёх прямоугольных треугольников с целыми сторонами. Поэтому площадь треугольника — рациональное число. С другой стороны, площадь равностороннего треугольника со стороной a
равна \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}
, причём a^{2}
— целое число как квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника с целыми катетами. Значит, число \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}
иррационально. Противоречие.
Аналогично для случая, когда одна из сторон треугольника ABC
параллельна оси координат.