6144. Задача Люилье. Пусть r
— радиус вписанной окружности, а r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC
, касающихся сторон BC=a
, AC=b
, AB=c
соответственно; S
— площадь треугольника ABC
. Докажите, что
а) \frac{1}{r}=\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}+\frac{1}{r_{c}}
; б) S=\sqrt{rr_{a}r_{b}r_{c}}
.
Решение. а) Известно, что S=pr
, где p
— полупериметр треугольника, поэтому \frac{1}{r}=\frac{p}{S}
. Пусть O
— центр окружности радиуса r_{a}
, касающейся стороны BC=a
треугольника ABC
в точке Q
, а продолжений сторон AB=c
и AC=b
— в точках M
и N
соответственно. Тогда
S=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOC}-S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}AB\cdot OM+\frac{1}{2}AC\cdot ON-\frac{1}{2}BC\cdot OQ=
=\frac{1}{2}c\cdot r_{a}+\frac{1}{2}b\cdot r_{a}-\frac{1}{2}a\cdot r_{a}=\frac{c+b-a}{2}r_{a}=(p-a)r_{a}.
Отсюда находим, что r_{a}=\frac{S}{p-a}
. Аналогично, r_{b}=\frac{S}{p-b}
и r_{c}=\frac{S}{p-c}
, поэтому
\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}+\frac{1}{r_{c}}=\frac{p-a}{S}+\frac{p-b}{S}+\frac{p-c}{S}=\frac{p-a+p-b+p-c}{S}=\frac{3p-2p}{S}=\frac{p}{S}=\frac{1}{r}.
б) По формуле Герона
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{\frac{S}{r}\cdot\frac{S}{r_{a}}\cdot\frac{S}{r_{b}}\cdot\frac{S}{r_{c}}}=\sqrt{\frac{S^{4}}{rr_{a}r_{b}r_{c}}}=\frac{S^{2}}{\sqrt{rr_{a}r_{b}r_{c}}}.
Отсюда находим, что \sqrt{rr_{a}r_{b}r_{c}}=S
. Что и требовалось доказать.