6145. Окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
имеют общую хорду AB
, \angle AO_{1}B=120^{\circ}
. Отношение длины второй окружности к длине первой равно \sqrt{3}
. Найдите угол AO_{2}B
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Указание. Выразите через радиус меньшей окружности стороны треугольника AO_{2}B
.
Решение. Пусть r
и R
— радиусы окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно. По условию
\frac{2\pi R}{2\pi r}=\frac{R}{r}=\sqrt{3}.
Поэтому R=r\sqrt{3}
. Из равнобедренного треугольника AO_{1}B
находим, что AB=r\sqrt{3}
. Следовательно, треугольник AO_{2}B
— равносторонний и \angle AO_{2}B=60^{\circ}
.