6148. Расстояние между параллельными прямыми равно 24. На одной из них лежит точка C
, на другой — точки A
и B
, причём треугольник ABC
— равнобедренный и остроугольный, а его боковая сторона равна 25. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Ответ. \frac{21}{4}
или \frac{15}{2}
.
Решение. Заметим, что либо AC=BC
, либо AC=AB
.
Рассмотрим первый из этих случаев (рис. 1): AC=BC=25
. Пусть H
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
с основанием AB
, r_{1}
— радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
. Тогда CH
— высота и медиана треугольника ABC
. Из прямоугольного треугольника AHC
находим, что
AH=\sqrt{AC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{25^{2}-24^{2}}=\sqrt{(25-24)(25+24)}=7.
Тогда
S_{\triangle ABC}=AH\cdot CH=7\cdot24=168,~
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)r_{1}=\frac{1}{2}(14+25+25)r_{1}=32r_{1}.
Из равенства 32r_{1}=168
находим, что r_{1}=\frac{21}{4}
.
Рассмотрим второй случай (рис. 2): AB=AC=25
. Пусть CH
— высота треугольника ABC
, а радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
, равен r_{2}
. Тогда AH=7
, BH=AB-AH=25-7=18
. Из прямоугольного треугольника BCH
находим, что
BC=\sqrt{BH^{2}+CH^{2}}=\sqrt{18^{2}+24^{2}}=6\sqrt{3^{2}+4^{2}}=6\cdot5=30,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot25\cdot24=300,~S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)\cdot r_{2}=40r_{2}.
Из равенства 40r_{2}=300
получаем, что r_{2}=\frac{15}{2}
.