6150. Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке A
, а третьей окружности — в точках B
и C
. Продолжение хорды AB
первой окружности пересекает вторую окружность в точке D
, продолжение хорды AC
пересекает первую окружность в точке E
, а продолжения хорд BE
и CD
— третью окружность в точках F
и G
соответственно. Найдите BG
, если BC=5
и BF=12
.
Ответ. 13.
Решение. Пусть S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
— первая, вторая и третья окружности соответственно. Проведём через точки A
, B
и C
общие касательные l_{a}
, l_{b}
, l_{c}
к окружностям S_{1}
и S_{2}
, S_{1}
и S_{3}
, S_{2}
и S_{3}
соответственно. Тогда касательные l_{a}
и l_{b}
образуют равные углы с хордой AB
. Обозначим эти углы через \gamma
. Аналогично, равные углы, которые образуют касательные l_{a}
и l_{c}
с хордой AC
, обозначим через \beta
, а равные углы, которые образуют касательные l_{b}
и l_{c}
с хордой BC
, — через \alpha
. Тогда сумма 2\alpha+2\beta+2\gamma
— это сумма углов треугольника ABC
, поэтому \alpha+\beta+\gamma=90^{\circ}
.
На касательной l_{a}
отметим точку P
внутри угла DAE
и точку Q
внутри угла BAC
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle BEC=\angle BEA=\angle BAQ=\angle PAD=\angle ACD=\angle ECD,
значит, BE\parallel CD
, а так как
\angle BCD=\angle ACB+\angle ACD=\alpha+\beta+\gamma=90^{\circ},
то \angle BCG=90^{\circ}
, поэтому четырёхугольник BCGF
— прямоугольник. Следовательно,
BG=\sqrt{CG^{2}+BC^{2}}=\sqrt{BF^{2}+BC^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2009, вариант 1, № 7
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А., Горяшин Д. В. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2011). — М.: МЦНМО, 2011. — с. 48
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 21