6152. Точки A
, B
и C
лежат на одной прямой. Отрезок AB
является диаметром первой окружности, а отрезок BC
— диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку A
, пересекает первую окружность в точке D
и касается второй окружности в точке E
, BD=9
, BE=12
. Найдите радиусы окружностей.
Ответ. 36 и 8.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры первой и второй окружностей соответственно, R_{1}
и R_{2}
— их радиусы. С точностью до симметрии возможны три случая расположения точек A
, B
и C
на прямой.
1) Точка A
лежит между точками B
и C
. Тогда A
находится внутри второй окружности, и не существует прямой, проходящей через A
и касающейся второй окружности.
2) Точка B
лежит между точками A
и C
(рис. 1). Тогда
\angle BEC=\angle AEO_{1}=90^{\circ},~\angle DEB=\angle ECB
(теорема об угле между касательной и хордой). Треугольники BEC
и BDE
подобны по двум углам, поэтому \frac{BC}{BE}=\frac{BE}{BD}
, откуда находим, что
2R_{2}=BC=\frac{BE^{2}}{BD}=16.
Следовательно, R_{2}=8
.
Отрезки BD
и EO_{2}
параллельны, поэтому BD\lt EO_{2}
, а так как BD=9
и EO_{2}=R_{2}=8
, то этот случай невозможен.
3) Точка C
лежит между точками A
и B
(рис. 2). Аналогично предыдущему получаем, что R_{2}=8
. Треугольники ADB
и AEO_{2}
подобны по двум углам, поэтому \frac{AB}{AO_{2}}=\frac{DB}{EO_{2}}
, или \frac{2R_{1}}{2R_{1}-R_{2}}=\frac{9}{R_{2}}
, или \frac{2R_{1}}{2R_{1}-8}=\frac{9}{8}
. Следовательно, R_{1}=36
.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2006, вариант 1, № 4
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А., Горяшин Д. В. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2011). — М.: МЦНМО, 2011. — с. 18
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 13