6155. На стороне AC
треугольника ABC
взята такая точка D
, что окружность, проходящая через точки A
, B
и D
, касается прямой BC
. Найдите AD
, если AB=18
, AC=36
и BD=15
.
Ответ. 11.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle CBD=\angle BAD=\angle BAC
, значит, треугольник BCD
подобен треугольнику ACB
по двум углам, причём коэффициент подобия равен \frac{BD}{AB}=\frac{15}{18}=\frac{5}{6}
. Тогда
BC=\frac{5}{6}AC=\frac{5}{6}\cdot36=30,~CD=\frac{5}{6}BC=\frac{5}{6}\cdot30=25.
Следовательно,
AD=AC-CD=36-25=11.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2007, вариант 2, № 5
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А., Горяшин Д. В. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2011). — М.: МЦНМО, 2011. — с. 37
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 17