6155. На стороне AC
треугольника ABC
взята такая точка D
, что окружность, проходящая через точки A
, B
и D
, касается прямой BC
. Найдите AD
, если AB=18
, AC=36
и BD=15
.
Ответ. 11.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle CBD=\angle BAD=\angle BAC
, значит, треугольник BCD
подобен треугольнику ACB
по двум углам, причём коэффициент подобия равен \frac{BD}{AB}=\frac{15}{18}=\frac{5}{6}
. Тогда
BC=\frac{5}{6}AC=\frac{5}{6}\cdot36=30,~CD=\frac{5}{6}BC=\frac{5}{6}\cdot30=25.
Следовательно,
AD=AC-CD=36-25=11.