6158. Точки A
, B
и C
лежат на окружности радиуса 2 с центром O
, а точка K
— на прямой, касающейся этой окружности в точке B
, причём \angle AKC=46^{\circ}
, а длины отрезков AK
, BK
и CK
образуют возрастающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол AKO
и расстояние между точками A
и C
. Какой из углов больше: ACK
или AOK
?
Ответ. 23^{\circ}
, 4\sin67^{\circ}
; одинаковы.
Решение. Из неравенства AK\lt BK\lt CK
следует, что отрезок CK
пересекает окружность в некоторой точке N
, а продолжение отрезка AK
пересекает окружность в некоторой точке M
. Обозначим AK=x
, BK=y
, CK=z
. Числа x
, y
и z
в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию, поэтому y^{2}=xz
. С другой стороны, по теореме о касательной и секущей y^{2}=BK^{2}=x\cdot KM=z\cdot KN
, поэтому x\cdot KM=xz
и z\cdot KN=xz
, откуда находим KM=z=KC
и KN=x=KA
.
Треугольники KOM
и KOC
равны по трём сторонам, поэтому KO
— биссектриса угла CKA
, следовательно,
\angle AKO=\frac{1}{2}\angle AKC=23^{\circ}.
Из равнобедренного треугольника KCM
находим, что
\angle AMC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AKC=90^{\circ}-23^{\circ}=67^{\circ}.
Пусть R=2
— радиус данной окружности. По теореме синусов
AC=2R\sin\angle AMC=2\cdot2\sin67^{\circ}=4\sin67^{\circ}.
В четырёхугольнике AOCK
известно, что
\angle AOC+\angle AKC=2\cdot\angle AMC+\angle AKC=2\cdot67^{\circ}+46^{\circ}=180^{\circ},
значит, точки A
, O
, C
и K
лежат на одной окружности. Следовательно, \angle ACK=\angle AOK
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 2007, вариант 1, № 4