6163. В четырёхугольнике ABCD
найдите такую точку E
, для которой отношение площадей треугольников EAB
и ECD
было равно 1:2
, а треугольников EAD
и EBC
— 3:4
, если известны координаты всех его вершин: A(-2;-4)
, B(-2;3)
, C(4;6)
, D(4;-1)
.
Ответ. E(0;0)
.
Решение. Поскольку
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{(-2-(-2);3-(-4))}=\overrightarrow{(0;7)},~\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{(4-4;6-(-1))}=\overrightarrow{(0;7)}=\overrightarrow{AB},
то четырёхугольник ABCD
— параллелограмм, стороны AB
и CD
которого параллельны оси ординат.
Пусть E
— искомая точка. У треугольников EAB
и ECD
равные и параллельные основания AB
и CD
, поэтому равенство \frac{S_{\triangle EAB}}{S_{\triangle ECD}}=\frac{1}{2}
равносильно тому, что их общая вершина E
лежит на прямой, параллельной основаниям и отстоящей от них на расстояния, отношение которых равно \frac{1}{2}
, т. е. на оси ординат.
Пусть прямая BC
пересекает ось ординат в точке P
, а прямая AD
— в точке Q
. Если O
— начало координат, то OP=3
и OQ=4
.
У треугольников EAD
и EBC
равные и параллельные основания AD
и BC
, поэтому равенство \frac{S_{\triangle EAD}}{S_{\triangle EBC}}=\frac{3}{4}
равносильно тому, что их общая вершина E
лежит на прямой, параллельной основаниям и отстоящей от них на расстояния, отношение которых равно \frac{3}{4}=\frac{OP}{OQ}
, т. е. на прямой, проходящей через точку O
.
Следовательно, точка E
— начало координат.