6165. Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника со сторонами 10, 10, 12, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите площадь этого четырёхугольника.
Ответ. 42 или 46\frac{2}{7}
.
Решение. Заметим, что окружность, вписанная в четырёхугольник, о котором говорится в условии задачи, — это окружность вписанная в данный равнобедренный треугольник.
Пусть вписанная окружность равнобедренного треугольника ABC
касается боковой стороны AB=10
в точке D
, основания BC=12
— в точке E
. Тогда AE
— высота и медиана треугольника ABC
, AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{100-36}=8
.
Пусть O
— центр этой окружности, r
— её радиус, S
— площадь треугольника ABC
, p
— его полупериметр. Тогда
p=\frac{1}{2}(10+10+12)=16,~S=\frac{1}{2}BC\cdot AE=48,~r=\frac{S}{p}=\frac{48}{16}=3.
Обозначим \angle ABC=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\frac{AE}{BE}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3},~
\tg\angle BAC=\tg(180^{\circ}-2\alpha)=-\tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{\tg^{2}\alpha-1}=\frac{2\cdot\frac{4}{3}}{\frac{16}{9}-1}=\frac{24}{7}.
Предположим, что прямая, проходящая через точку M
, лежащую на боковой стороне AB
, перпендикулярна AB
, касается окружности в точке P
и пересекает боковую сторону AC
в точке N
(рис. 1). Четырёхугольник ODMP
— квадрат со стороной r=3
, поэтому
DM=OP=3,~BD=BE=6,~BM=BD+DM=6+3=9,AM=AB-BM=10-9=1.
Из прямоугольного треугольника AMN
находим, что
MN=AM\tg\angle BAC=1\cdot\frac{24}{7}=\frac{24}{7},
поэтому
S_{\triangle AMN}=\frac{1}{2}MN\cdot AM=\frac{1}{2}\cdot\frac{24}{7}\cdot1=\frac{12}{7}.
Следовательно,
S_{BMNC}=S-S_{\triangle ANM}=48-\frac{12}{7}=\frac{324}{7}=46\frac{2}{7}.
Пусть теперь прямая, проходящая через точку M
, лежащую на боковой стороне AB
, перпендикулярна AB
, касается окружности в точке P
и пересекает основание BC
в точке N
(рис. 2). Тогда
DM=OP=3,~BM=BD-DM=BE-DM=6-3=3,
MN=BM\cdot\tg\alpha=3\cdot\frac{4}{3}=4,
значит,
S_{\triangle BMN}=\frac{1}{2}MN\cdot BM=\frac{1}{2}\cdot4\cdot3=6.
Следовательно,
S_{AMNC}=S-S_{\triangle BMN}=48-6=42.
Если же точка M
лежит на боковой стороне AC
, получим те же результаты.