6172. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, площадь которого равна 36, касается средней линии, параллельной стороне BC
. Известно, что BC=9
. Найдите сторону AB
.
Ответ. 10 или 17.
Решение. Обозначим AB=x
, AC=y
, p
— полупериметр треугольника ABC
. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и AC
соответственно. Тогда MN=\frac{1}{2}BC=\frac{9}{2}
.
В трапецию BMNC
вписана окружность, поэтому BM+CN=BC+MN=9+\frac{9}{2}=\frac{27}{2}
, значит,
x+y=AB+AC=2BM+2CN=2(BM+CN)=2(BC+MN)=2\cdot\frac{27}{2}=27,
p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{x+y+9}{2}=\frac{27+9}{2}=18.
По формуле Герона
S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=
=\sqrt{18(18-x)(18-y)(18-9)}=9\sqrt{2(18-x)(18-y)}=36~\Rightarrow
\Rightarrow~\sqrt{2(18-x)(18-y)}=4~\Rightarrow~(18-x)(18-y)=8~\Rightarrow
\Rightarrow~(18-x)(18-27+x)=8~\Rightarrow~x^{2}-27x+170=0.
Отсюда находим, что x=10
или x=17
.
Источник: ЕГЭ. — Задача C4, 2011