6173. Окружность, вписанная треугольник KLM
, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне ML
. Известно, что ML=11
. Найдите сторону MK
.
Ответ. 20 или 13.
Решение. Обозначим KM=x
, KL=y
, p
— полупериметр треугольника KLM
. Пусть A
и B
— середины сторон KM
и KL
соответственно. Тогда AB=\frac{1}{2}ML=\frac{11}{2}
.
В трапецию ABLM
вписана окружность, поэтому AM+BL=ML+AB=11+\frac{11}{2}=\frac{33}{2}
, значит,
x+y=KM+KL=2AM+2KL=2(AM+KL)=2(AM+BL)=2\cdot\frac{33}{2}=33,
p=\frac{KM+KL+ML}{2}=\frac{x+y+11}{2}=\frac{33+11}{2}=22.
По формуле Герона
S_{\triangle KLM}=\sqrt{p(p-KM)(p-KL)(p-ML)}=
=\sqrt{22(22-x)(22-y)(22-11)}=11\sqrt{2(22-x)(22-y)}=66~\Rightarrow~
~\Rightarrow~\sqrt{2(22-x)(22-y)}=6~\Rightarrow~(22-x)(22-y)=18~\Rightarrow~
~\Rightarrow~(22-x)(22-33+x)=18~\Rightarrow~x^{2}-33x+260=0.
Отсюда находим, что x=20
или x=13
.