6175. Радиус окружности, вписанной в треугольник FGH
, площадь которого равна 210, в три раза меньше высоты, проведённой из вершины F
. Известно, что GH=28
. Найдите сторону FH
.
Ответ. 17 или 39.
Решение. Пусть FA
— высота треугольника FGH
, r
— радиус окружности, вписанной в этот треугольник, p
— полупериметр треугольника. Тогда
FA=\frac{2S_{\triangle FGH}}{GH}=\frac{2\cdot210}{28}=15,
поэтому, то r=\frac{1}{3}FA=5
.
Обозначим FH=x
, FG=y
. Тогда
S_{\triangle FGH}=pr=\frac{PR+PQ+QR}{2}\cdot r=\frac{x+y+28}{2}\cdot5=210,
откуда
x+y=56,~p=\frac{x+y+28}{2}=\frac{56+28}{2}=42.
По формуле Герона
S_{\triangle FGH}=\sqrt{p(p-FH)(p-FG)(p-GH)}=
=\sqrt{42(42-x)(42-y)(42-28)}=14\sqrt{3(42-x)(42-y)}=210~\Rightarrow
\Rightarrow~\sqrt{3(42-x)(42-y)}=15~\Rightarrow~3(42-x)(42-56+x)=225~\Rightarrow
\Rightarrow~(42-x)(x-14)=75~\Rightarrow~x^{2}-56x+663=0.
Отсюда находим, что x=17
или x=39
.
Источник: ЕГЭ. — Задача C4, 2011