6180. С центром в точке O
, расположенной на биссектрисе угла, равного 60^{\circ}
, проведена окружность радиуса 4. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности внешним образом, если известно, что расстояние от точки O
до вершины угла равно 10.
Ответ. 2; 14.
Решение. Пусть Q
— центр искомой окружности радиуса x
, M
— точка касания с данной окружностью, B
— точка касания с одной из сторон данного угла с вершиной A
.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому \angle BAQ=30^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника BAQ
находим, что AQ=2QB=2x
.
Пусть точка Q
лежит между A
и O
(рис. 1). Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому AO=AQ+QO
, или 10=2x+(x+4)
, откуда находим, что x=2
.
Если точка O
лежит между A
и Q
(рис. 2), то AQ=AO+OQ
, или 2x=10+(4+x)
, откуда x=14
.
Источник: ЕГЭ. — Задача C4, 2011
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2013. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2014. — № 22, с. 175