6182. На стороне прямого угла с вершиной A
взята точка O
, причём AO=7
. С центром в точке O
проведена окружность S
радиуса 1. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S
.
Ответ. 4 или 12.
Решение. Пусть Q
— центр искомой окружности радиуса R
, B
— точка касания этой окружности со стороной AO
, C
— точка касания окружностей. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, значит, \angle BAQ=45^{\circ}
. Тогда AB=QB=R
. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому OQ=OC+CQ=1+R
.
Рассмотрим случай, когда точка B
лежит между A
и O
(рис. 1). Тогда R\lt7
. По теореме Пифагора OQ^{2}=QB^{2}+OB^{2}
, или (1+R)^{2}=R^{2}+(7-R)^{2}
. После очевидных упрощений получим уравнение R^{2}-16R+48=0
, а так как R\lt7
, то R=4
.
Если же точка O
лежит между A
и B
(рис. 2), то аналогично получим, что R=12
.