6183. Расстояния от точки M
, расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 1 и 3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот угол и проходящей через точку M
.
Ответ. 4\pm\sqrt{6}
.
Решение. Пусть A
— вершина данного угла, B
и C
— проекции точки M
на стороны угла, BM=1
, CM=3
, F
и E
— точки касания окружности с центром O
и радиусом R
со сторонами AB
и AC
соответственно. Рассмотрим случай, когда точка F
лежит между A
и B
(рис. 1). Тогда
R=AF\lt3,~AF=OF=OM=R,~BF=AB-AF=3-R.
Опустим перпендикуляр MH
из точки M
на прямую OF
. Тогда
MH=BF=3-R,~OH=|OF-FH|=|OF-BM|=|R-1|.
По теореме Пифагора OM^{2}=MH^{2}+OH^{2}
, или R^{2}=(3-R)^{2}+(R-1)^{2}
. После очевидных упрощений получим квадратное уравнение R^{2}-8R+10=0
, из которого находим, что R=4\pm\sqrt{6}
, а так как R\lt3
, то R=4-\sqrt{6}
.
Если же точка B
лежит между A
и F
(рис. 2), то аналогично получим, что R=4+\sqrt{6}
Источник: ЕГЭ. — Задача C4, 2011
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2013. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2014. — № 26, с. 180