6184. Дан прямоугольный треугольник ABC
с катетами AC=36
и BC=27
. С центром в вершине B
проведена окружность S
радиуса 18. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC
и касающейся окружности S
.
Ответ. 7
или 27
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{27}{36}=\frac{3}{4},~\cos\alpha=\frac{4}{5},~\sin\alpha=\frac{3}{5}.
Пусть x
— радиус искомой окружности, O
— её центр, D
— точка касания с лучом AC
, M
— точка касания с окружностью S
, E
— проекция точки O
на прямую BC
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит,
\ctg\angle OAD=\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1+\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=3.
Из прямоугольного треугольника OAD
находим, что
AD=OD\ctg\frac{\alpha}{2}=3x.
Заметим, что условию задачи удовлетворяют две окружности: центр одной расположен внутри треугольника ABC
(рис. 1), а центр второй — вне (рис. 2), причём искомая окружность касается окружности S
внешним образом, значит, BO=BM+MO=18+x
.
В первом случае точка D
лежит на катете AC
, поэтому
OE=CD=AC-AD=36-3x,~BE=BC-CE=BC-OD=27-x,
причём AD\lt AC
, т. е. 3x\lt36
, x\lt12
. По теореме Пифагора BO^{2}=OE^{2}+BE^{2}
, или
(18+x)^{2}=(36-3x)^{2}+(27-x)^{2},~x^{2}-34x+189=0,~x\lt12,
откуда находим, что x=7
.
Во втором случае точка D
лежит на продолжении катета AC
за точку C
, поэтому OE=CD=AD-AC=3x-36
, причём AD\gt AC
, т. е. x\gt12
. Тогда
(18+x)^{2}=(3x-36)^{2}+(27-x)^{2},~x^{2}-34x+189=0,~x\gt12,
откуда находим, что x=27
(это значит, что OD=BC
, т. е. точка E
совпадает с вершиной B
).