6185. Дан прямоугольный треугольник ABC
с катетами AC=12
и BC=5
. С центром в вершине B
проведена окружность S
радиуса 8. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC
и внешним образом касающейся окружности S
.
Ответ. \frac{21}{25}
или 5
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{12},~\cos\alpha=\frac{12}{13},~\sin\alpha=\frac{5}{13}.
Пусть x
— радиус искомой окружности, O
— её центр, D
— точка касания с лучом AC
, M
— точка касания с окружностью S
, E
— проекция точки O
на прямую BC
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит,
\ctg\angle OAD=\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1+\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}=5.
Из прямоугольного треугольника OAD
находим, что
AD=OD\ctg\frac{\alpha}{2}=5x.
Заметим, что условию задачи удовлетворяют две окружности: центр одной расположен внутри треугольника ABC
(рис. 1), а центр второй — вне (рис. 2), причём искомая окружность касается окружности S
внешним образом, значит, BO=BM+MO=8+x
.
В первом случае точка D
лежит на катете AC
, поэтому
OE=CD=AC-AD=12-5x,~BE=BC-CE=BC-OD=5-x,
причём AD\lt AC
, т. е. 5x\lt12
, x\lt\frac{12}{5}
. По теореме Пифагора BO^{2}=OE^{2}+BE^{2}
, или
(8+x)^{2}=(12-5x)^{2}+(5-x)^{2},~25x^{2}-146x+105=0,~x\lt\frac{12}{5},
откуда находим, что x=\frac{21}{25}
.
Во втором случае точка D
лежит на продолжении катета AC
за точку C
, поэтому OE=CD=AD-AC=5x-12
, причём AD\gt AC
, т. е. x\gt\frac{12}{5}
. Тогда
(8+x)^{2}=(5x-12)^{2}+(5-x)^{2},~25x^{2}-146x+105=0,~x\gt\frac{12}{5},
откуда находим, что x=5
(это значит, что OD=BC
, т. е. точка E
совпадает с вершиной B
).