6186. Дан ромб ABCD
с диагоналями AC=16
и BD=12
. Проведена окружность радиуса 3\sqrt{2}
с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину B
, касается этой окружности и пересекает прямую CD
в точке M
. Найдите CM
.
Ответ. \frac{10}{7}
или 70
.
Решение. Первый способ. Пусть точка M
лежит между C
и D
(рис. 1), P
— точка касания прямой BM
с данной окружностью, O
— центр ромба.
По теореме Пифагора
CD=\sqrt{OD^{2}+OC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10.
Обозначим \angle OBM=\alpha
, \angle BDC=\beta
. Из прямоугольных треугольников OPB
и COD
находим, что
\sin\alpha=\frac{OP}{OB}=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2},~\alpha=45^{\circ},
\cos\beta=\frac{OD}{CD}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},~\sin\beta=\frac{4}{5}.
Применяя теорему синусов к треугольнику BMD
получим, что \frac{DM}{\sin\angle MBD}=\frac{BD}{\sin\angle BMD}
, поэтому
MD=\frac{BD\sin\angle MBD}{\sin\angle BMD}=\frac{12\sin45^{\circ}}{\sin(180^{\circ}-45^{\circ}-\beta)}=\frac{6\sqrt{2}}{\sin(45^{\circ}+\beta)}=
=\frac{6\sqrt{2}}{\sin45^{\circ}\cos\beta+\cos45^{\circ}\sin\beta}=\frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{3}{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{4}{5}}=\frac{60}{7}.
Следовательно,
CM=CD-MD=10-\frac{60}{7}=\frac{10}{7}.
Пусть теперь точка M
лежит на продолжении стороны CD
за точку D
(рис. 2). Тогда по теореме о внешнем угле треугольника \angle BMD=\angle BDC-\angle MBD=\beta-\alpha
. Далее, рассуждая аналогично предыдущему случаю, получим, что
MD=\frac{6\sqrt{2}}{\sin(\beta-45^{\circ})}=\frac{6\sqrt{2}}{\sin\beta\cos45^{\circ}-\sin45^{\circ}\cos\beta}=\frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{4}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{3}{5}}=60.
Следовательно,
CM=CD+MD=10+60=70.
Второй способ. Пусть точка M
лежит между C
и D
(рис. 1), P
— точка касания прямой BM
с данной окружностью, O
— центр ромба, E
— точка пересечения BM
и AC
.
По теореме Пифагора
CD=\sqrt{OD^{2}+OC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10.
Из прямоугольного треугольника OPB
находим, что
\sin\alpha=\frac{OP}{OB}=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2},~\alpha=45^{\circ}.
Тогда
OE=OB=6,~AE=AO+OE=8+6=14,~EC=OC-OE=8-6=2.
Треугольник CEM
подобен треугольнику AEB
с коэффициентом \frac{EC}{AE}=\frac{1}{7}
. Следовательно, CM=\frac{1}{7}AB=\frac{10}{7}
.
Если точка M
лежит вне отрезка CD
(рис. 2), аналогично находим, что CM=70
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — Задача C4, 2010