6187. Дан прямоугольник KLMN
со сторонами KN=11
, MN=8
. Прямая, проходящая через вершину M
, касается окружности с центром K
радиуса 4 и пересекается с прямой KN
в точке Q
. Найдите QK
.
Ответ. 5 или \frac{37}{3}
.
Решение. Пусть точка Q
лежит между K
и N
(рис. 1), P
— точка касания прямой MQ
с данной окружностью. Обозначим KQ=x
.
Из прямоугольного треугольника QPK
по теореме Пифагора находим, что
PQ=\sqrt{QK^{2}-PK^{2}}=\sqrt{x^{2}-16}.
Прямоугольные треугольники QPK
и QNM
подобны по двум углам, поэтому \frac{PK}{PQ}=\frac{MN}{QN}
, или
\frac{4}{\sqrt{x^{2}-16}}=\frac{8}{11-x},~(11-x)^{2}=4(x^{2}-16),~3x^{2}+22x-185=0,
откуда находим, что QK=x=5
.
Если точка Q
лежит на продолжении стороны NK
за точку K
(рис. 2), то рассуждая аналогично, получим уравнение 3x^{2}-22x-185=0
, из которого найдём, что QK=x=\frac{37}{3}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — Задача C4, 2010