6188. Сторона квадрата ABCD
равна 20. Проведена окружность с центром D
радиуса 4. Касательная, проведённая к этой окружности из вершины B
, пересекает прямую CD
в точке N
. Найдите DN
.
Ответ. 5 или \frac{20}{3}
.
Решение. Пусть точка N
лежит между C
и D
(рис. 1), P
— точка касания прямой AN
с данной окружностью. Обозначим DN=x
.
Из прямоугольного треугольника DPN
по теореме Пифагора находим, что
PN=\sqrt{DN^{2}-DP^{2}}=\sqrt{x^{2}-16}.
Прямоугольные треугольники DPN
и BCN
подобны по двум углам, поэтому \frac{DP}{PN}=\frac{BC}{CN}
, или
\frac{4}{\sqrt{x^{2}-16x}}=\frac{20}{20-x},~(20-x)^{2}=25(x^{2}-16),~3x^{2}+5x-100=0,
откуда находим, что DN=x=5
.
Если точка N
лежит на продолжении стороны CD
за точку D
(рис. 2), то рассуждая аналогично, получим уравнение 3x^{2}-5x-100=0
, из которого найдём, что DN=x=\frac{20}{3}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — Задача C4, 2010