6189. Расстояния от точки M
, расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 2 и 5. Найдите радиус окружности, вписанной в этот угол и проходящей через точку M
.
Ответ. 7\pm2\sqrt{5}
.
Решение. Пусть A
— вершина данного угла, B
и C
— проекции точки M
на стороны угла, BM=2
, CM=5
, F
и E
— точки касания окружности с центром O
и радиусом R
со сторонами AB
и AC
соответственно. Рассмотрим прямоугольную трапецию OECM
, в которой
OM=OE=R,~CM=5,~CE=|AE-AC|=|OF-BM|=|R-2|.
Пусть Q
— точка пересечения CM
и OF
. Тогда
MQ=|CM-QC|=|CM-OE|=|5-R|.
По теореме Пифагора OM^{2}=OQ^{2}+MQ^{2}
, или R^{2}=(R-2)^{2}+(5-R)^{2}
. После очевидных упрощений получим квадратное уравнение R^{2}-14R+29=0
, из которого находим, что R=7\pm2\sqrt{5}
.
Условию задачи удовлетворяют оба решения.