6191. Основание равнобедренного треугольника равно 56, косинус угла при вершине равен \frac{4}{5}
. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.
Ответ. 882
или 1152
.
Решение. Пусть вершины K
и L
прямоугольника KLMN
лежат на основании BC
равнобедренного треугольника ABC
(точка K
между B
и L
), а вершины M
и N
— на боковых сторонах AC
и AB
соответственно.
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\angle ACB=\beta
. Тогда
\cos\alpha=\frac{4}{5},~\sin\alpha=\frac{3}{5},~\tg\beta=\tg\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1+\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=3.
Предположим, что сторона KL
прямоугольника вдвое больше его стороны KN
. Положим KN=x
, KL=2x
. Из прямоугольного треугольника BKN
находим, что BK=KN\ctg\alpha=\frac{x}{3}
. Тогда LC=BK=\frac{x}{3}
, а так как KL=MN=2x
, то
BC=BK+KL+LC=\frac{x}{3}+2x+\frac{x}{3}=\frac{8}{3}x=56,
откуда x=21
. Тогда KL=2x=42
. Следовательно,
S_{KLMN}=KL\cdot KN=21\cdot42=882.
Пусть теперь сторона KN
прямоугольника вдвое больше его стороны KL
. Положим KL=y
, KN=2y
. Из прямоугольного треугольника BKN
находим, что BK=KN\ctg\alpha=\frac{2y}{3}
. Тогда LC=BK=\frac{2y}{3}
, а так как KL=MN=y
, то
BC=BK+KL+LC=\frac{2y}{3}+y+\frac{2y}{3}=\frac{7}{3}y=56,
откуда y=24
. Тогда KN=2y=48
. Следовательно,
S_{KLMN}=KL\cdot KN=24\cdot48=1152.