6193. Две стороны треугольника равны 10 и 13, косинус угла между ними равен \frac{5}{13}
. Найдите сторону квадрата, все вершины которого расположены на сторонах треугольника.
Ответ. \frac{60}{11}
или \frac{1560}{289}
.
Решение. Пусть в треугольнике ABC
известно, что AB=10
, AC=13
, \angle BAC=\alpha
, \cos\alpha=\frac{5}{13}
. Тогда
\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}.
По теореме косинусов
BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\alpha}=\sqrt{100+169-2\cdot10\cdot13\cdot\frac{5}{13}}=13,
значит, треугольник ABC
— равнобедренный.
Рассмотрим случай, когда сторона KL=x
квадрата KLMN
расположена на основании AB
треугольника ABC
(рис. 1), вершина M
— на боковой стороне AC
, а вершина N
— на боковой стороне BC
. Пусть высота CH
треугольника ABC
пересекается со стороной MN
квадрата в точке Q
. Тогда
CH=AC\sin\alpha=13\cdot\frac{12}{13}=12,~CQ=CH-QH=4-x.
Треугольник CMN
подобен треугольнику CAB
, поэтому \frac{CQ}{CH}=\frac{MN}{AB}
, или \frac{12-x}{12}=\frac{x}{10}
, откуда находим, что x=\frac{60}{11}
.
Пусть теперь сторона KL=y
квадрата KLMN
расположена на боковой стороне AC
(рис. 2), вершина M
— на боковой стороне BC
, а вершина N
— на основании AB
. Пусть высота BP
пересекает сторону MN
квадрата в точке F
. Тогда
BP=AB\sin\alpha=10\cdot\frac{12}{13}=\frac{120}{13},~BF=BP-FP=\frac{120}{13}-y.
Треугольник BNM
подобен треугольнику BAC
, поэтому \frac{BF}{BP}=\frac{MN}{AC}
, или \frac{\frac{120}{13}-y}{\frac{120}{13}}=\frac{y}{13}
, откуда находим, что y=\frac{1560}{189}
.
В случае, когда сторона квадрата расположена на боковой стороне BC
треугольника ABC
, получим тот же результат.