6195. Две стороны треугольника равны 7 и 8, угол между ними равен 120^{\circ}
. В треугольник вписан ромб, имеющий с треугольником общий острый угол (вершина ромба, противоположная вершине этого угла, лежит на третьей стороне треугольника). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
Ответ. \frac{2\sqrt{3}}{3}
или \frac{7\sqrt{3}}{10}
.
Решение. Пусть в треугольнике ABC
известно, что AC=7
, AB=8
, \angle BAC=120^{\circ}
. По теореме косинусов
BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos120^{\circ}}=\sqrt{64+49+2\cdot8\cdot7\cdot\frac{1}{2}}=13.
Обозначим \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. По теореме синусов
\frac{AC}{\sin\beta}=\frac{BC}{\sin120^{\circ}},~\frac{AB}{\sin\gamma}=\frac{BC}{\sin120^{\circ}},
откуда находим, что
\sin\beta=\frac{AC\sin120^{\circ}}{BC}=\frac{7\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{13}=\frac{7\sqrt{3}}{26},~\sin\gamma=\frac{AB\sin120^{\circ}}{BC}=\frac{8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{13}=\frac{4\sqrt{3}}{13}.
Рассмотрим случай, когда общий угол треугольника и ромба — это угол при вершине B
(рис. 1). Пусть BKLM
— ромб со стороной x
, причём вершина L
ромба лежит на стороне AC
треугольника ABC
, а вершина M
— на стороне BC
. Треугольники LMC
и ABC
подобны, так как ML\parallel AB
, значит, \frac{ML}{AB}=\frac{CM}{BC}
, или \frac{x}{8}=\frac{13-x}{13}
. Из этого уравнения находим, что x=\frac{104}{21}
.
Пусть r
— радиус окружности, вписанной в ромб BKLM
, S
— площадь ромба, p
— полупериметр ромба. Тогда
r=\frac{S}{p}=\frac{BK\cdot BM\sin\beta}{p}=\frac{x^{2}\cdot\frac{7\sqrt{3}}{26}}{2x}=\frac{7x\sqrt{3}}{52}=\frac{7\cdot\frac{104}{21}\cdot\sqrt{3}}{52}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.
Предположим теперь, что общий угол треугольника и ромба — это угол при вершине C
(рис. 2). Пусть CEFG
— ромб, со стороной y
, причём его вершина F
лежит на стороне AB
треугольника ABC
, а вершина E
— на стороне BC
. Аналогично предыдущему случаю
\frac{FG}{BC}=\frac{AG}{AC},~\frac{y}{13}=\frac{7-y}{7},~y=\frac{91}{20},
r=\frac{S}{p}=\frac{CG\cdot CE\sin\gamma}{p}=\frac{y^{2}\cdot\frac{4\sqrt{3}}{13}}{2y}=\frac{2y\sqrt{3}}{13}=\frac{2\cdot\frac{91}{20}\cdot\sqrt{3}}{13}=\frac{7\sqrt{3}}{10}.