6196. Через вершину B
правильного шестиугольника ABCDEF
проведена прямая, пересекающая диагональ CF
в точке K
. Известно, что эта прямая разбивает шестиугольник на части, площади которых относятся как 1:2
. Найдите отношение CK:KF
.
Ответ. 2:1
или 3:5
.
Решение. Пусть O
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
, S
— его площадь. Тогда
S_{ABEF}=S_{BCDE}=\frac{1}{2}S,~S_{\triangle ABF}=S_{\triangle BCD}=S_{\triangle BOC}=\frac{1}{6}S.
Рассмотрим случай, когда точка K
расположена между точками O
и F
(рис. 1). Тогда прямая BK
пересекает сторону EF
в некоторой точке M
, причём
S_{ABMF}=\frac{1}{3}S,~S_{\triangle BMF}=S_{ABMF}-S_{\triangle ABF}=\frac{1}{3}S-\frac{1}{6}S=\frac{1}{6}S,
S_{\triangle BME}=S_{ABEF}-S_{ABMF}=\frac{1}{2}S-\frac{1}{3}S=\frac{1}{6}S=S_{\triangle BMF}.
Треугольники BME
и BMF
равновелики, поэтому BM
— медиана треугольника BEF
. Треугольник BKC
подобен треугольнику MKF
с коэффициентом 2 (FM\parallel BC
, BC=EF=2MF
), следовательно, \frac{CK}{KF}=2
.
Пусть теперь точка K
лежит между C
и O
(рис. 2). Тогда прямая BK
пересекает сторону DE
в некоторой точке N
, причём
S_{BCDE}=\frac{1}{2}S,~S_{BCDN}=\frac{1}{3}S,~S_{\triangle BCD}=S_{\triangle ABF}=\frac{1}{6}S,~
S_{\triangle BND}=S_{BCDN}-S_{\triangle BCD}=\frac{1}{3}S-\frac{1}{6}S=\frac{1}{6}S,~
S_{\triangle BNE}=S_{BCDE}-S_{BCDN}=\frac{1}{2}S-\frac{1}{3}S=\frac{1}{6}S=S_{\triangle BND}.
Треугольники BNE
и BND
равновелики, поэтому BN
— медиана треугольника BDE
.
Пусть диагонали CF
и BD
пересекаются в точке L
. Тогда L
— середина OC
, OL
— средняя линия треугольника BDE
, а так как N
— середина DE
, то K
— середина OL
. Обозначим OK=z
. Тогда
CL=OL=2z,~CK=CL+LK=2z+z=3z,~
OF=OC=CK+OK=3z+z=4z,~KF=OK+OF=z+4z=5z.
Следовательно, \frac{CK}{KF}=\frac{3z}{5z}=\frac{3}{5}
.