6197. Через вершину A
правильного шестиугольника ABCDEF
проведена прямая, пересекающая прямую CF
в точке K
. Известно, что эта прямая разбивает шестиугольник на части, площади которых относятся как 1:11
. Найдите отношение CK:KF
.
Ответ. 5:1
или 1:3
.
Решение. Пусть O
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
, S
— его площадь, L
— точка пересечения диагоналей AE
и CF
. Площади частей, на которые прямая AK
разбивает шестиугольник, равны \frac{1}{12}S
и \frac{11}{12}S
.
Предположим, что точка F
— вершина меньшей по площади части шестиугольника (рис. 1). Тогда точка K
лежит между точками F
и L
, так как
S_{\triangle AEF}=S_{\triangle AOF}=\frac{1}{6}S\gt\frac{1}{12}S,
значит, прямая AK
пересекает сторону EF
в некоторой точке M
. При этом треугольники AMF
и AME
равновелики, значит, AM
— медиана треугольника AEF
, а так как FL
— также медиана этого треугольника, то K
— точка пересечения его медиан, поэтому KF=2KL
.
Обозначим KL=a
. Тогда
KF=2a,~OL=LF=3a,~OC=OF=2OL=6a,~CK=OC+OL+KL=6a+3a+a=10a.
Следовательно, \frac{CK}{KF}=\frac{10a}{2a}=5
.
Пусть теперь точка F
— вершина большей по площади части шестиугольника (рис. 2). Тогда точка K
лежит на продолжении диагонали CF
за точку C
, так как
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AEF}=\frac{1}{6}S\gt\frac{1}{12}S,
значит, прямая AK
пересекает сторону BC
в некоторой точке N
. При этом треугольники ANB
и ANC
равновелики, значит, AN
— медиана треугольника ABC
.
Треугольники ABN
и KCN
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (CK\parallel AB
). Обозначим AB=b
. Тогда
CK=AB=b,~CF=2AB=2b,~KF=CK+CF=b+2b=3b.
Следовательно, \frac{CK}{KF}=\frac{b}{3b}=\frac{1}{3}
.