6203. Окружность с центром D
проходит через точки A
, B
и центр O
вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся его стороны BC
и продолжений сторон AB
и AC
. Докажите, что точки A
, B
, C
и D
лежат на одной окружности.
Решение. Обозначим углы треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Пусть указанная вневписанная окружность касается продолжения стороны AB
в точке P
. Поскольку BO
— биссектриса внешнего угла при вершине B
треугольника ABC
, а AO
— биссектриса угла BAC
, то
\angle OBP=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta)=90^{\circ}-\frac{\beta}{2},
\angle AOB=\angle OBP-\angle BAO=\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)-\frac{\alpha}{2}=
=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}-\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta-\alpha)=\frac{\gamma}{2}.
Поскольку ADB
— центральный угол окружности, проходящей через точки A
, B
и O
, а AOB
— угол, вписанный в эту окружность, то
\angle ADB=2\angle AOB=\gamma=\angle ACB.
Значит, отрезок AB
виден из точек C
и D
, лежащих по одну сторону от прямой AB
, под одним и тем же углом. Следовательно, точки A
, B
, C
и D
лежат на одной окружности.
Примечание. 1. Поскольку \angle AOC=\frac{\beta}{2}
и \angle AOD=\frac{\beta}{2}
, то точки O
, C
и D
лежат на одной прямой.
2. Утверждение задачи верно и для вписанной окружности.